- 分母が積の形なら分解できる(x^2)/(x^4+5*x^2+6)
= (x^2)/(x^2+2)-(x^2)/(x^2+3)分子のxが邪魔なので消す。=1/(x^2+3) - 1/(x^2+2)これで２つに分かれた。それぞれについてx=√3tant
x=√2tantとして置換積分∫[0,k]1/{(x/√3)^2+1}dx=√3∫[0,α]dt①αはk=√3tanαとなるもの∫[0,k]1/{(x/√2)^2+1}dx=√2∫[0,β]dt②βはk=√2tanβとなるもの①-②は√3α-√2β=(√3-√2)α+√2(α-β)k→∞の時α→βなので √2(α-β)→0α→π/2なので (√3-√2)α→(√3-√2)π/2よって∫[0,∞](x^2)/(x^4+5*x^2+6)
dx = (√3-√2)π/2∫1/cos(x)dx=∫cos(x)/cos^2(x)dx また、cos^2(x) = 1-sin^2(x)ここで、t=sinxとおく。dt/dx=cos(x)より、dx=dt/cos(x)∫cos(x)/(1-sin^2(x))dx
= -∫1/(t^2-1)dt = -∫1/(t+1)(t-1)dtよって、(与式) = (1/2)∫(1/(t+1) -
1/(t-1))dx = (1/2)(log|t+1|-lo
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